弱非均匀ASEP的SPDE极限

我们研究环面 $\mathbb{T}^{(N)} = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上含 $N$ 个站点的空间非均匀环境中的ASEP。给定的非均匀性 $\widetilde{a}(x) \in (0,\infty)$，$x \in \mathbb{T}$，扰动了键上的整体不对称跳跃率 $r < \ell \in (0,1)$，使得粒子以速率 $r\widetilde{a}(x)$ 从站点 $x$ 跳到 $x+1$，并以速率 $\ell\widetilde{a}(x)$ 从 $x+1$ 跳到 $x$（两种情况均服从排斥规则）。在极限 $N\to\infty$ 下，我们将不对称性 $(\ell-r)$ 以 $N^{-\frac{1}{2}}$ 的速度调至零，并将非均匀性 $\widetilde{a}(x)$ 调至单位一，使二者在同等地位上竞争。在G\"{a}rtner（或微观Hopf--Cole）变换的层面上，我们证明了收敛到一个新的SPDE——带有空间与时空乘性噪声混合的随机热方程。等价地，在高度函数的层面上，我们证明了收敛到带有空间与时空加性噪声混合的Kardar--Parisi--Zhang方程。我们的方法适用于一类一般的 $\widetilde{a}(x)$，特别地，包括独立同分布、长程相关和周期非均匀性。我们分析的关键技术组成部分在于对Hill型算子 $\mathcal{H}:= \frac12\partial_{xx} + \mathcal{A}'(x)$ 的半群 $\mathcal{Q}(t):=e^{t\mathcal{H}}$ 及其离散类比的核的一系列估计，其中 $\mathcal{A}$（及其离散类比）是一个一般的H\"{o}lder连续函数。