时空分数阶方程与随机时间下的相关稳定过程

在本文中，我们考虑一般分数阶方程 \sum_{j=1}^m \lambda_j \frac{\partial^{\nu_j}}{\partial t^{\nu_j}} w(x_1,..., x_n ; t) = -c^2 (-\Delta)^\beta w(x_1,..., x_n ; t)，其中 \nu_j \in (0,1], \beta \in (0,1]，初始条件为 w(x_1,..., x_n ; 0)= \prod_{j=1}^n \delta (x_j)。上述 Cauchy 问题的解与 n 维过程 \bm{S}_n^{2\beta} \mathcal{L} c^2 {L}^{\nu_1,..., \nu_m} (t) \r, t>0 的分布一致，其中 \bm{S}_n^{2\beta} 是一个各向同性稳定过程，独立于 {L}^{\nu_1,..., \nu_m}(t)，后者是 {H}^{\nu_1,..., \nu_m} (t) = \sum_{j=1}^m \lambda_j^{1/\nu_j} H^{\nu_j} (t), t>0 的逆，其中 H^{\nu_j}(t) 是阶为 \nu_j 的独立、正偏稳定随机变量。所考虑的问题将分数阶电报方程作为一个特例包含在内，同时也包含了稳定过程的支配方程。复合过程 \bm{S}_n^{2\beta} (c^2 {L}^{\nu_1,..., \nu_m} (t)), t>0，为上述分数阶方程的解提供了一个概率表示，并且在 \beta = 1 时与 n 维 Brownian 运动在时间 {L}^{\nu_1,..., \nu_m} (t), t>0 处一致。迭代过程 {L}^{\nu_1,..., \nu_m}_r (t), t>0，是 {H}^{\nu_1,..., \nu_m}_r (t) =\sum_{j=1}^m \lambda_j^{1/\nu_j} _1H^{\nu_j} (_{2}H^{\nu_j} (_3H^{\nu_j} (... _{r}H^{\nu_j} (t)...))), t>0 的逆，它允许我们构造过程 \bm{S}_n^{2\beta} (c^2 {L}^{\nu_1,..., \nu_m}_r (t)), t>0，其分布求解一个空间分数阶广义电报方程。对于 r \to \infty 且 \beta = 1，我们得到一个代表 n 维 Gauss-Laplace 律的分布，并求解方程 \sum_{j=1}^m \lambda_j w(x_1,..., x_n) = c^2 \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} w(x_1,..., x_n)。