无穷乘积展开中消失系数的一些结果

近来，M. D. Hirschhorn证明了，若 $\sum_{n=0}^\infty a_nq^n := (-q,-q^4;q^5)_\infty(q,q^9;q^{10})_\infty^3$ 且 $\sum_{n=0}^\infty b_nq^n:=(-q^2,-q^3;q^5)_\infty(q^3,q^7;q^{10})_\infty^3$，则 $a_{5n+2}=a_{5n+4}=0$ 且 $b_{5n+1}=b_{5n+4}=0$。受Hirschhorn工作的启发，D. Tang证明了若干类似结果，包括如下：若 $\sum_{n=0}^\infty c_nq^n := (-q,-q^4;q^5)_\infty^3(q^3,q^7;q^{10})_\infty$ 且 $\sum_{n=0}^\infty d_nq^n := (-q^2,-q^3;q^5)_\infty^3(q,q^9;q^{10})_\infty$，则 $c_{5n+3}=c_{5n+4}=0$ 且 $d_{5n+3}=d_{5n+4}=0$。本文中，我们证明 $a_{5n}=b_{5n+2}$、 $a_{5n+1}=b_{5n+3}$、 $a_{5n+2}=b_{5n+4}$、 $a_{5n-1}=b_{5n+1}$、 $c_{5n+3}=d_{5n+3}$、 $c_{5n+4}=d_{5n+4}$、 $c_{5n}=d_{5n}$、 $c_{5n+2}=d_{5n+2}$，以及 $c_{5n+1}>d_{5n+1}$。我们还记录了Tang未列出的一些其他类似结果。