无穷乘积与无穷和生成函数的对数凹性

我们扩展了Andrews关于组合学中无穷和与无穷积重要性的评述。令 $\{g_d(n)\}_{d\geq 0,n \geq 1}$ 为双序列 $\sigma_d(n)= \sum_{\ell \mid n} \ell^d$ 或 $\psi_d(n)= n^d$。我们关联双序列 $\left\{ p^{g_{d} }\left( n\right) \right\}$ 和 $\left\{ q^{g_{d} }\left( n\right) \right\}$，定义为以下级数的系数：\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} p^{g_{d} }\left( n\right) \, t^{n} & := & \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - t^{n} \right)^{-\frac{ \sum_{\ell \mid n} \mu(\ell) \, g_d(n/\ell) }{n} }, \\ \sum_{n=0}^{\infty} q^{g_{d} }\left( n\right) \, t^{n} & := & \frac{1}{1 - \sum_{n=1}^{\infty} g_d(n) \, t^{n} }. \end{eqnarray*} 这些系数与 $n$ 的划分个数 $\mathrm{p}\left( n\right) = p^{\sigma _{1 }}\left ( n\right)$、平面划分 $pp\left( n\right) = p^{\sigma _{2 }}\left( n\right)$ 以及斐波那契数 $F_{2n} = q^{\psi _{1 }}\left( n\right)$ 相关。令 $n \geq 3$ 且 $n \equiv 0 \pmod{3}$。则在指数与几何情形下，系数对几乎所有 $d$ 在 $n$ 处为对数凹的。若 $n \equiv 2 \pmod{3}$，则在两种情形下系数对几乎所有 $d$ 非对数凹。令 $n\equiv 1 \pmod{3}$。则对数凹性质对几乎所有 $d$ 发生翻转。