若干含参数的 q-同余式

令 $\Phi_n(q)$ 为 $q$ 中的第 $n$ 个分圆多项式。近来，作者与 Zudilin 通过引入附加参数 $a$，提出了一种创造性显微方法，主要用于证明模 $\Phi_n(q)^3$ 的一些 $q$-超同余式。本文中，我们利用这一创造性显微方法证实了关于模 $\Phi_n(q)^2$ 的 $q$-超同余式的一些猜想。我们还给出了已知 $q$-超同余式的一些参数推广。例如，我们给出了 Rodriguez-Villegas 一个著名超同余式的 $q$-类比的进一步推广： $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{{2k\choose k}^2}{16^k} \equiv (-1)^{(p-1)/2}\pmod{p^2}\quad\text{对任意奇素数 $p$ 成立。}$$