关于“广义富余指数”的若干观察

设 $\mathcal{A}(\ell,n) \subset S_n^{\ell}$ 为所有 $\ell$-元组 $(\pi_1,\dots,\pi_{\ell})$ 的集合，其中 $\pi_1,\dots,\pi_{\ell} \in S_n$ 满足：对所有 $i<j$，都有 $\pi_i\pi_j=\pi_j\pi_i$。考虑 $S_n$ 对 $[n]=\{1,\dots,n\}$ 的作用，设 $\kappa(\pi_1,\dots,\pi_{\ell})$ 为子群 $\langle \pi_1,\dots,\pi_{\ell} \rangle \subset S_n$ 的作用轨道数。有关组合数 $A(\ell,n,k)$ 即集合 $\{(\pi_1,\dots,\pi_{\ell}) \in \mathcal{A}(\ell,n) \,:\ \kappa(\pi_1,\dots\pi_{\ell})=k\}$ 的基数感兴趣。如果定义 $B(\ell,n)=A(\ell,n,1)/(n-1)!$，则已知 $B(\ell,n) = \sum_{(f_1,\dots,f_{\ell}) \in \mathbb{N}^{\ell}} \mathbf{1}_{\{n\}}(f_1\cdots f_{\ell}) \prod_{r=1}^{\ell-1} f_r^{\ell-r}$。一个特殊情况，$\ell=2$，为 $B(2,n) = \sum_{d|n} d = \sigma_1(n)$ 即除数和函数。那么 $A(2,n,1)/n!=B(2,n)/n$ 称为富余指数：$\sigma_1(n)/n$。我们将 $B(\ell,n) n^{-\ell+1}$ 定义为“广义富余指数”。在阿布森斯拉姆的工作基础上，我们使用概率模型证明，$\lim_{N \to \infty} N^{-1} \sum_{n=1}^{N} B(\ell,n) n^{-\ell+1}$ 等于 $\zeta(2)\cdots \zeta(\ell)$。受此启发，我们提出更精确的猜想，以描述 $-\zeta(2) + N^{-1}\sum_{n=1}^{N} (B(2,n)/n)$ 的渐近行为。