关于支撑落在闭集理想上的 C(X) 中函数的一些新结果

对于 X 中闭集的任意理想 $\mathcal{P}$，令 $C_\mathcal{P}(X)$ 为 $C(X)$ 中那些支撑落在 $\mathcal{P}$ 上的函数族。进一步令 $C^\mathcal{P}_\infty(X)$ 恰好包含 $C(X)$ 中那些对每个 $\epsilon >0$，满足 $\{x\in X: \lvert f(x)\rvert\geq \epsilon\}$ 是 $\mathcal{P}$ 的元素的函数 $f$。令 $\upsilon_{C_{\mathcal{P}}}X$ 表示 $\beta X$ 中所有这样的点 $p$ 的集合，在这些点上每个 $f\in C_\mathcal{P}(X)$ 的 stone 扩张 $f^*$ 取实数值。我们证明：X 与 $\beta X$ 之间每个实紧空间都具有 $\upsilon_{C_{\mathcal{P}}}X$ 的形式，当且仅当 X 是伪紧的。我们找出了局部-$\mathcal{P}/$几乎局部-$\mathcal{P}$ 型空间的任意乘积仍为同型空间的条件。我们进一步证明：$C_\mathcal{P}(X)$ 是 $C(X)$ 的自由理想（本质理想）当且仅当 $C^\mathcal{P}_\infty(X)$ 是 $C^*(X)+C^\mathcal{P}_\infty(X)$ 的自由理想（分别为本质理想），而这又当且仅当 X 是局部-$\mathcal{P}$（几乎局部-$\mathcal{P}$）的。我们处理了如下问题：$C_\mathcal{P}(X)/C^\mathcal{P}_{\infty}(X)$ 何时与环 $C(X)$ 的基座相同。最后我们观察到，$C(X)$ 中形如 $C_\mathcal{P}(X)$ 的理想无非就是 $C(X)$ 的 $z^\circ$-理想。