$C_{K}(X)$、$C_{\psi}(X)$ 和 $C_{\infty}(X)$ 的一些推广与统一

设 $\cal{P}$ 为 $X$ 上滤子 $\cal{F}$ 的一个开滤子基。我们用 $C^{\cal{P}}(X)$（$C_{\infty\cal{P}}(X)$）表示所有满足 $Z(f)$（$\{x: |f(x)|< \frac{1}{n}\}$）包含 $\cal{P}$ 中某个元素的函数 $f\in C(X)$ 的集合。首先，我们观察到 Acharyya 和 Ghosh（Topology Proc. 2010）意义下的每个真子环都具有这种形式，反之亦然。随后，我们将关于 $C_{K}(X)$、$C_{\psi}(X)$ 和 $C_{\infty}(X)$ 的一些著名定理推广到 $C^{\cal{P}}(X)$ 和 $C_{\infty\cal{P}}(X)$。我们注意到 $C_{\infty\cal{P}}(X)$ 未必是 $C(X)$ 的理想。结果表明，当且仅当滤子 $\cal{F}$ 的非聚点集有界时，$C_{\infty\cal{P}}(X)$ 是 $C(X)$ 的理想，且对于每个 $F\in\cal{F}$，$X\setminus \overline{F}$ 是有界的。利用这一结果，我们研究了那些使得只要 $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $A$ 是开集且 $X\setminus A$ 有界 $\}$（ resp., $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $X\setminus A$ 有限 $\}$）时，$C_{\infty\cal{P}}(X)$ 即为 $C(X)$ 的理想的拓扑空间。此外，我们证明了 $C^{\cal{P}}(X)$ 是本质的（resp., 自由的）理想，当且仅当集合 $\{V:$ $V$ 是开集且 $X\setminus V\in\mathcal{F}\}$ 是 $X$ 的 $\pi$-基（resp., $\mathcal{F}$ 没有聚点）。最后，刻画了使得 $C_{\infty\cal{P}}(X)$ 成为正则环（resp., $z$-理想）的滤子 $\cal{F}$。