关于路径的广义图兰数的若干精确结果

对于色数 $\chi(F)=k$ 的图 $H$ 和 $F$，若当 $n$ 足够大时，图兰图 $T_{k-1}(n)$ 是含 $H$ 副本数最多且不含 $F$ 的 $n$ 顶点图的唯一图，则称 $H$ 严格 $F$-图兰好（或 $(H, F)$ 严格图兰好）。设 $F$ 为色数 $\chi(F)\geq 3$ 且具有色临界边的图，$P_\ell$ 为含 $\ell$ 个顶点的路径。Gerbner 与 Palmer（2020, arXiv:2006.03756）证明了当 $\chi(H)\ge 4$ 时 $(P_3, F)$ 严格图兰好，并猜想（a）当 $\chi(F)=3$ 时该结果成立，且（b）对任意整数对 $\ell$ 和 $k$ 有 $(P_\ell, K_k)$ 图兰好。本文中，我们证明了当 $H$ 为匹配数 $\nu(H)=\lfloor \frac{|V(H)|}{2}\rfloor$ 的二部图且 $\chi(F)= 3$ 时 $(H, F)$ 严格图兰好，作为推论，该结果证实了猜想（a）；我们还证明了当 $2\le\ell\leq 6$ 且 $\chi(F)\ge 4$ 时 $(P_\ell, F)$ 严格图兰好，这也证实了猜想（b）在 $2\le\ell\leq 6$ 且 $k\ge 4$ 时成立。