直接求解一维周期势中粒子的 Schrödinger 方程

空间周期势的时间无关 Schrödinger 方程的解满足 Bloch 定理。该定理已被用于通过将解展开为适当波矢的平面波并随后对角化所得哈密顿矩阵来求解周期系统的 Schrödinger 方程。然而，这种方法只有在波函数中使用无限多个平面波时才能给出精确解。因此，尽管该定理提供了简化，但即使对于一维无限大周期系统，Schrödinger 方程也尚未被精确求解。另一方面，有限系统的一维 Schrödinger 方程的解通常通过使用标准数值技术直接积分 Schrödinger 方程获得。在本文中，我们将此方法扩展至无限大系统，并以一种新颖的方式利用 Bloch 定理，寻找任意一维周期势下 Schrödinger 方程的直接精确数值解。除了为求解此类系统的 Schrödinger 方程提供一种不同途径外，该算法的简洁性使其具有极高的教学价值。