关于初等约数域上系统矩阵的罗森布罗克定理

罗森布罗克定理关于多项式系统矩阵的定理是线性系统理论中的一个经典结果，关联有理矩阵$G$的Smith-McMillan形式与产生$G$的不可约多项式系统矩阵$P$以及$P$的子矩阵的Smith形式。该定理对于开发计算有理矩阵极点和零点的算法至关重要，这些算法通过线性化和广义特征值算法实现。在本文中，我们将罗森布罗克定理扩展到entries位于任意初等约数域$\mathfrak R$上的系统矩阵$P$以及entries位于$\mathfrak R$分数域上的矩阵$G$。这些是Smith-McMillan和Smith形式均存在且问题意义所在的最一般环。此外，我们详细分析了当系统矩阵不可约时会发生什么。最后，我们探讨了当系统矩阵$P$本身的entries位于初等约数域的分数域时罗森布罗克定理的扩展方式。