Feshbach 情形下算子 Riccati 方程的可解性

我们考虑如下形式的 bounded block operator matrix（有界分块算子矩阵） $$L=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right),$$ 其中主对角元 $A$ 和 $D$ 分别是 Hilbert 空间 $H_{_A}$ 和 $H_{_D}$ 上的自伴算子；耦合项 $B$ 将 $H_{_D}$ 映射到 $H_{_A}$，$C$ 是从 $H_{_A}$ 到 $H_{_D}$ 的算子。假设 $D$ 的谱 $\sigma_{_D}$ 是绝对连续且均匀的，由单一能带 $[\alpha,\beta]\subset\mathbb{R}$、$\alpha<\beta$ 表示，且 $A$ 的谱 $\sigma_{_A}$ 嵌入到 $\sigma_{_D}$ 中，即 $\sigma_{_A}\subset(\alpha,\beta)$。我们给出了使与复形变分块算子矩阵 $L$ 相关的算子 Riccati 方程存在有界解的条件；在此情形下，形变算子矩阵 $L$ 允许分块对角化。同样的条件也确保了 Schur 补 $M_{_A}(z)=A-z-B(D-z)^{-1}C$ 解析延拓到紧邻能带 $[\alpha,\beta]$ 的复 $z$ 平面非物理叶上的 Markus-Matsaev 型因式分解。我们证明，延拓 Schur 补 $M_{_A}$ 的算子根通过相应的形变 Riccati 方程的解显式表达。