Stein 流形与 Kähler 流形上具紧支集的 $\bar \partial $-方程解

我们研究 $\bar \partial$-方程，先在 Stein 流形上，后在完备 Kähler 流形上。目标是获得具紧支集解的 $L^{r}$ 与 Sobolev 估计。在 Stein 情形下，我们得到：对任意具紧支集且 $\bar \partial$-闭的 $L^{r}$ 中 $(p,q)$-形式 $\omega$，存在具紧支集的 $W^{1,r}$ 中 $(p,q-1)$-形式 $u$，使得 $\bar \partial u=\omega$。在 Kähler 流形情形，我们证明并使用了具紧支集的 Poisson 方程解的估计，而其与 $\bar \partial$ 方程的联系通过一经典定理建立，该定理表明在 Kähler 流形上 Hodge 拉普拉斯算子是 $\bar \partial$（或 Kohn）拉普拉斯算子的两倍。这运用并改进了我们在 Andreotti-Grauert 型定理上的结果（在特殊情形下）。