来自N≡3 mod 8新类不变量的奇异值k_N的根式解
数学物理
2008-07-31 v3 高能物理 - 理论
math.MP
数论
摘要
对于无平方因子且与3互质的N≡3 mod 8，我展示如何使用一对新颖的实数[f,g]将奇异值k_N化简为根式，这两个实数是Q(√-N)的希尔伯特类域中的代数整数。一个是模数48的类不变量，其增长为g=α(N)exp(π√N/48)+o(1)，其中α(N)∈[-√2,√2]由N模64的余数唯一确定。因此，g是类域的一个非常经济的生成元。对于素数N≡3 mod 4，我猜想Chowla-Selberg公式提供了类域的一个代数单位，并确定了N<2000的155个情况下的最小多项式。对于N=2317723，类数h(-N)=105，我在90毫秒内计算出了g的最小多项式。其高度小于Pari-GP的双eta商方法所找到的生成多项式高度的立方根。通过确定Chowla-Selberg单位并求解生成类域子域的七次、五次和三次方程，我将完全椭圆积分K_{2317723}化简为根式和Γ函数的值。我得出结论，最初在椭圆曲线素性证明中被舍弃的模8余数3，其性能优于余数7。
引用
@article{arxiv.0807.2976,
title = {Solutions by radicals at singular values k_N from new class invariants for N \equiv 3 mod 8},
author = {David Broadhurst},
journal= {arXiv preprint arXiv:0807.2976},
year = {2008}
}
备注
15 pages, appendix added; more scholarly references