解决Katona关于加权图团计数的一个问题

图$G$的顶点集$V(G)$的子集$I$称为$G$的$k$-团独立集，如果$I$中不存在$k$个顶点构成$G$的一个$k$-团。独立集是一个$2$-团独立集。令$\pi_k(G)$表示$G$的$k$-团的数量。对于函数$w: V(G) \rightarrow \{0, 1, 2, \dots\}$，令$G(w)$为从$G$通过将每个顶点$v$替换为$w(v)$-团$K^v$，并对$G$的每条边$\{u,v\}$使$K^u$的每个顶点与$K^v$的每个顶点相邻而得到的图。对于整数$m \geq 1$，考虑任意满足$\sum_{v \in V(G)} w(v) = m$的$w$。对于$U \subseteq V(G)$，若对每个$v \in V(G) \setminus U$有$w(v) = 0$，且对每个$u \in U$有$w(u) = \left\lfloor m/|U| \right\rfloor$或$w(u) = \left\lceil m/|U| \right\rceil$，则称$w$在$U$上是一致的。Katona问：当$w$在$G$的一个最大$k$-团独立集上一致时，$\pi_k(G(w))$是否最小。他特别强调了Sperner图$B_n$，其定义为$V(B_n) = \{X \colon X \subseteq \{1, \dots, n\}\}$且$E(B_n) = \{\{X,Y\} \colon X \subsetneq Y \in V(B_n)\}$。他对$k = 2$（以及任意$G$）给出了肯定回答。我们确定了对于每个$k \geq 3$答案为否定的图。这些图包括$n \geq 2$时的$B_n$。推广Sperner定理以及Qian、Engel和Xu近期的结果，我们证明当$w$在$B_n$的一个最大独立集上一致时，$\pi_k(B_n(w))$最小。我们还证明对于完全多部图和无弦图同样成立。利用Bohman关于无三角形图的一个深刻结果，我们证明并非对每个图都成立。