八块谜题的解数

30 个 MacMahon 彩色立方体的每个面都涂上一种颜色，且每种颜色至少出现一次。一个涉及这些立方体的谜题是：用八个互不相同的 MacMahon 立方体创建 $2\times2\times2$ 的模型，以重建外部上色为指定目标立方体的大型模型，同时触及的内部面颜色相同。J.H. Conway 被认为将立方体排列在 $6\times6$ 表格中，给出该谜题的解。事实上，解决该谜题的特定八个立方体集合恰好可以以 exactly两种不同方式解决谜题。我们研究一个不要求内部面匹配的较不严格的谜题。我们描述了 $2\times2\times2$ 谜题的解以及一组八个立方体可获得的解的数量。此外，给定一个八个 MacMahon 立方体的集合，我们研究可构建的目标立方体数量。我们计算了在所有八个立方体集合中，可构建的立方体数量分布（最大值可达五个），并对能够构建五个不同立方体的集合进行完整特征描述。此外，我们从中识别出九组新的十二立方体集合，称为 Minimum Universal 集合，从中可以构建所有 30 个立方体。