$S_6$ 的自同构与彩色立方体谜题

给定六种颜色的调色板，一个彩色立方体是每个面恰好涂一种颜色且每种颜色出现在某个面上的立方体。从任意单位的彩色立方体集合开始，可以尝试将集合的一个子集排列成每个面为单色的 $n \times n \times n$ 立方体。这就是彩色立方体谜题。本文中，我们确定了完成 $n \times n \times n$ 立方体的框架（其角和边）所需的最小尺寸立方体集合。我们对所有 $n$ 回答了这个问题，特别地证明对于 $n \geq4$ 有最佳可能结果，即只要有足够立方体构建框架，无论集合中立方体如何，总可以做到。我们的分析部分涉及6色立方体集合及其相关的 $S_6$ 作用。除了该作用提供的简化问题外，它还给出了可视化 $S_6$ 外自同构的另一种方式。