立方体的对称层彩虹着色

我们能否用$n^2$种颜色为$n\times n\times n$立方体$L$的$n^3$个单元着色，使得平行于每个面的每一层恰好包含每种颜色一次，并且着色是对称的，即对不同的$i,j,\ell \in \{1,\dots,n\}$有$L_{ij\ell}=L_{j\ell i}=L_{\ell ij}$，且对$i,j\in \{1,\dots,n\}$有$L_{iij}=L_{jj i}, L_{iji}=L_{jij}, L_{ij j}=L_{jii}$？利用运输网络，我们证明这样的着色当且仅当$n\equiv 0,2 \mod 3$时可能（有两个例外，$n=1$且$n\neq 3$）。受实验设计推动，对这些对象（无对称性）的研究由Kishen和Fisher于1940年代发起。这些对象也与正交数组密切相关，其存在性已被广泛研究，并且它们是对称拉丁方的自然三维类比。