迈向 Cruse 定理的三维对应形式

补全部分拉丁方是 NP 完全的。受 Ryser 关于拉丁矩形的定理启发，Cruse 于 1974 年发现了保证阶为 $m$ 的部分对称拉丁方可以嵌入到阶为 $n$ 的对称拉丁方中的条件。粗略地说，该结论断言：$m$ 顶点完全图 $K_m$ 的边的 $n$ 染色可以嵌入到 $K_n$ 的一因子分解中，当且仅当 $n$ 为偶数且每种颜色的边数至少为 $m-n/2$。我们建立了 $\lambda$ 重 $m$ 顶点 3-图 $\lambda K_m^3$ 的边染色可以嵌入到 $\lambda K_n^3$ 的一因子分解中的充分必要条件。特别地，我们证明了首个已知的超图 Ryser 型定理：若 $n \equiv 0 \;(\bmod\; 3)$，则只要每种颜色的三元组数量至少为 $m/2-n/6$，$\lambda K_m^3$ 的任意边染色都可嵌入到 $\lambda K_n^3$ 的一因子分解中。最后我们证明了一个 Evans 型结果：若 $n \equiv 0 \;(\bmod\; 3)$ 且 $n\geq 3m$，则只要 $q\leq \lambda \binom{n-1}{2}-\lambda \binom{m}{3}/\left\lfloor m/3 \right\rfloor$，$F\subseteq\lambda K_m^3$ 的任意图的边的任意 $q$ 染色都可嵌入到 $\lambda K_n^3$ 的一因子分解中。