关于n-立方体的平衡着色

n维欧氏空间中n-立方体的2-着色可以视为给顶点赋予权重1或0。如果这种着色的n-立方体的质心与其几何中心重合，则称其为平衡的。设$B_{n,2k}$为具有2k个权重为1的顶点的n-立方体平衡2-着色的数目。Palmer、Read和Robinson猜想，对于$n\geq 1$，序列$\{B_{n,2k}\}_{k=0, 1 ... 2^{n-1}}$是对称且单峰的。我们给出了这一猜想的证明。我们还提出了关于固定k时$B_{n,2k}$对数凹性的一个猜想，并通过概率方法证明当n足够大时该猜想成立。