McLaren 的改进截半立方体及三维中其他新的球面设计
组合数学
2007-05-23 v1
摘要
提出的证据表明，在三维中，具有 N 个点的球面 6-设计存在于 N=24、26、>=28；7-设计存在于 N=24、30、32、34、>=36；8-设计存在于 N=36、40、42、>=44；9-设计存在于 N=48、50、52、>=54；10-设计存在于 N=60、62、>=64；11-设计存在于 N=70、72、>=74；以及 12-设计存在于 N=84、>=86。其中某些设计的存在性被解析地确立，而其他的则由非常精确的数值坐标给出。这个 24 点 7-设计最早由 McLaren 于 1963 年发现，并且——尽管 McLaren 未如此指认——它由“改进”截半立方体的顶点组成，该立方体由阿基米德的常规截半立方体（仅为 3-设计）通过将每个正方形面略微收缩并将每个三角形面扩张而得到。给出了具有 23 和 25 个点的 5-设计，结合 Reznick 早先的工作，表明 5-设计存在于 N=12、16、18、20、>=22。我们猜想（尽管对 t >= 9 信心递减）这些 t-设计列表是完备的且不存在其他设计。其中一种构造给出了一列具有 N=12m 个点（m >= 2）的假定球面 t-设计，其中当 t -> 无穷 时 N = t^2/2 (1+o(1))。
引用
@article{arxiv.math/0207211,
title = {McLaren's Improved Snub Cube and Other New Spherical Designs in Three Dimensions},
author = {R. H. Hardin and N. J. A. Sloane},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0207211},
year = {2007}
}
备注
16 pages, 1 figure