Korteweg-de Vries色散流体力学中的孤子-平均场相互作用

局域化孤子在大规模波背景下的传播是一个基础性的物理与数学问题，在流体动力学、非线性光学和凝聚态物理中有诸多应用。本文研究Korteweg-de Vries方程中，孤子与稀疏波或色散激波（两类分别为缓慢变化和快速振荡的色散平均场）相互作用时的演化。阶梯边界条件会产生稀疏波（向上阶梯）或色散激波（向下阶梯）。当孤子与这些平均场之一相互作用时，根据其初始振幅和位置，它可透射穿过（隧穿）或被嵌入（俘获）其中。本文对三种独立的解析方法进行了全面综述以描述这些相互作用。首先，引入基本的孤子微扰理论，发现其能在小色散极限下刻画孤子-稀疏波相互作用的动力学。其次，利用多相Whitham调制理论及其有限间隙描述来刻画孤子-稀疏波与孤子-色散激波相互作用。最后，通过逆散射变换获得谱描述及初值问题的精确解。对于透射孤子，远场渐近揭示了其穿过上述任一类波时的相位移动。在俘获情形中，谱描述不存在恰当本征值，意味着演化不涉及恰当的孤子解。这些方法彼此一致，与直接数值模拟相符，并准确描述了孤立波-平均场相互作用的不同方面。