小BGK波与非线性朗道阻尼

考虑具有固定离子背景和空间变量周期条件的一维Vlasov-Poisson系统。首先，我们证明，对于一般均匀平衡态，在稳态分布函数的Sobolev空间W^{s,p} (p>1, s<1+(1/p))的任意小邻域内，存在具有任意最小周期和传播速度的非平凡行波解（BGK波）。这意味着，对于任何均匀平衡态和任何空间周期，非线性朗道阻尼在W^{s,p}(s<1+(1/p))空间中不成立。实际上，在任何均匀态的W^{s,p} (s<1+(1/p))邻域内，长时间动力学非常丰富，包括行波BGK波、不稳定均匀态及其可能的不变流形。其次，我们证明，对于满足Penrose线性稳定性条件的均匀平衡态，在某个W^{s,p} (p>1, s>1+(1/p))邻域内，不存在非平凡的行波BGK波和不稳定均匀态。此外，当p=2时，我们证明在稳定均匀态的H^{s} (s>(3/2))邻域内不存在非平凡的不变结构。这些结果表明，在W^{s,p} (s>1+(1/p))邻域，特别是在稳定均匀态的H^{s} (s>(3/2))邻域内，长时间动力学可能相对简单。我们还证明，对于线性稳定的均匀态，在非常粗糙的空间中的初始扰动下，线性阻尼成立。这表明，在临界指数s=1+(1/p)的W^{s,p}空间中对比鲜明的动力学是一种真正的非线性现象，不能追溯到线性层面。