$\mathbb{M}^{1,3}$ 中的斜对称自同态：统一规范型及其在共形几何中的应用

我们推导了三维和四维洛伦兹向量空间中斜对称自同态 $F$ 的规范型，该规范型一次性涵盖了所有非平凡情形。我们分析了其不变群，以及该规范型与二形式对偶旋转的联系。在回顾了这些自同态与 $\mathbb{S}^2$ 的共形 Killing 向量代数 $\mathrm{CKill}(\mathbb{S}^2)$ 之间的关系后，我们还给出了 $\mathrm{CKill}(\mathbb{S}^2)$ 中任意元素 $\xi$ 的规范型及其不变群。该构造使我们能够显式地获得将任意给定 $F$ 变换为其规范型的基变换。对于任意非平凡的 $\xi$，我们通过其规范型构建了适配坐标系，使我们能够深入研究其性质。我们具体展示了两个应用：首先，在常曲率空间的一类自然类别中，我们显式确定了对于哪些度量给定的 $\xi$ 是 Killing 向量；其次，求解了满足 $\xi$ 的 Killing 初始数据方程的所有局部 TT（无迹且横向）张量。除了自身的意义外，本文结果将成为后续向任意维度推广的基本要素。