$\mathbb{M}^{1,n}$ 中的斜对称自同态:一种统一的规范形及其在共形几何中的应用

我们证明了存在一族标准正交、未来定向的基,可将 $\mathbb{M}^{1,n}$ 的每一个斜对称自同态($\mathrm{SkewEnd}(\mathbb{M}^{1,n})$)写成依赖于最少参数的单一规范形。这一规范形被所有相差一个正时洛伦兹变换的 $\mathrm{SkewEnd}(\mathbb{M}^{1,n})$ 中的元素对所共享,即它定义了正时洛伦兹群在其代数上伴随作用下的轨道。利用该形式,我们得到了 $\mathrm{SkewEnd}(\mathbb{M}^{1,n})/O^+(1,n)$ 的商拓扑。由 $\mathrm{SkewEnd}(\mathbb{M}^{1,n})$ 与球面 $\mathbb{S}^n$ 的共形 Killing 矢量场(CKVFs)之间的已知关系,立即可得 CKVFs 的一种规范形。该形式被用于寻找同时涵盖所有情形的、适配于任意 CKVF 的坐标。我们对偶数 $n$ 进行了计算,并将奇数 $n$ 的情形作为推论得到。最后,我们利用适配坐标得到了 $n=3$ 时的一大类 TT-张量,它们提供了共形平坦零无穷远 $\mathscr{I}$ 处的柯西数据。具体而言,这类数据的特点是生成具有两种对称(其中之一为轴对称)、且容许共形平坦 $\mathscr{I}$ 的 $\Lambda>0$ 真空时空。这类数据是无量纲无限的,依赖于一个变量的两个任意函数以及若干常数。此外,它包含了 Kerr-de Sitter 时空的数据,我们明确地在其中将其辨识出来。