多元映射的奇异性与 Mycielski 关于普遍同胚的一个问题

S. Banach 指出，$\text{Homeo}([0,1])$ 中泛型（在 Baire 范畴意义上）元素的图像长度为 $2$。J. Mycielski 问其测度论对偶是否成立，即是否除 Haar 零集（在 Christensen 意义上）外的所有 $\text{Homeo}([0,1])$ 元素图像长度均为 $2$。我们肯定地回答了该问题。若 $f \in \text{Homeo}([0,1]^d)$ 将某个合适的满测度集映为零测集，则称其为奇异的；若其几乎处处可微且导数矩阵为奇异矩阵，则称其为强奇异的。由于 $f \in \text{Homeo}([0,1])$ 的图像长度为 $2$ 当且仅当 $f$ 为奇异的当且仅当 $f$ 为强奇异的，以下结果即为 Banach 观察与我们对 Mycielski 问题解答的高维类比。我们证明对 $d \ge 2$，$\text{Homeo}([0,1]^d)$ 中泛型元素的图像的 $d$ 维 Hausdorff 测度为无穷，这与上述 Banach 结果形成对比。其测度论对偶仍开放，但我们证明 $\text{Homeo}([0,1]^d)$ 中具有无穷 $d$ 维 Hausdorff 测度的元素集合不是 Haar 零集。我们证明对 $d \ge 2$，$\text{Homeo}([0,1]^d)$ 的泛型元素是奇异的但非强奇异的。我们还证明对 $d \ge 2$，$\text{Homeo}([0,1]^d)$ 中几乎每个元素都是奇异的，但强奇异元素集合构成所谓的 Haar 矛盾集（既非 Haar 零集，也非余 Haar 零集）。最后，为澄清情形，我们考察了多元映射奇异性各种可能的定义，并探讨了它们之间的联系。