箭图半不变量零集的奇点

设 $Q$ 为一个箭图，其维数向量 $\alpha$ 在一般线性群乘积 $\operatorname{GL}(\alpha)$ 作用于表示簇 $\operatorname{Rep}(Q,\alpha)$ 下是预齐次的。我们研究该空间的半不变量零集的几何性质。已知对于大数 $N$，$\operatorname{Rep}(Q,N\cdot \alpha)$ 中的零锥变为完全交。首先，我们证明它也变为既约的。然后，利用 Bernstein-Sato 多项式，我们讨论零集具有有理奇点的若干判据。特别地，我们证明对于 Dynkin 箭图，余维数 $1$ 的轨道闭包具有有理奇点。