奇异图兰数与 WORM 染色

图 $G$ 的子图 $H$ 若满足其顶点在 $G$ 中度数全相同，或两两度数互异，则称其为\textit{奇异}的。不含奇异副本 $H$ 的 $n$ 顶点图的最大边数记为 $T_S(n,H)$。Caro 与 Tuza [Theory and Applications of Graphs, 6 (2019), 1--32] 给出了每个图 $H$ 的 $T_S(n,H)$ 的渐近式，但仅确定了 $H=K_3$ 且 $n\equiv 2$ (mod 4) 时的精确值。我们对所有 $n\equiv 0$ (mod 4) 与 $n\equiv 1$ (mod 4) 确定了 $T_S(n,K_3)$，并对足够大且被 $r$ 整除的 $n$ 确定了 $T_S(n,K_{r+1})$。我们还探讨了其与所谓 $H$-WORM 染色（不含 $H$ 的彩虹色或单色副本的染色）的联系，并获得了关于具有 $H$-WORM 染色的图所能拥有的最大边数的新结果。