单位正方形非 1--1 映射的奇异 SRB 测度

我们考虑单位正方形的一个非 1--1 映射，例如 \cite{MwM1} 中研究的记忆映射。记忆映射定义如下：$x_{n+1}=M_{\alpha}(x_{n-1},x_{n})=\tau (\alpha \cdot x_{n}+(1-\alpha )\cdot x_{n-1}),$ 其中 $\tau$ 是 $I=[0,1]$ 上的一维映射，$0<\alpha <1$ 决定了使用了多少记忆。在本文中，我们令 $\tau$ 为对称帐篷映射。为了研究 $M_\alpha$ 的动力学，我们考虑二维映射 $$G_{\alpha }:[x_{n-1},x_{n}]\mapsto [x_{n},\tau (\alpha \cdot x_{n}+(1-\alpha )\cdot x_{n-1})]\, .$$ \cite{MwM1} 研究了 $\alpha\in(0,3/4]$ 时的映射 $G_\alpha$。在本文中，我们证明了对于 $\alpha\in(3/4,1)$，映射 $G_\alpha$ 存在奇异的 Sinai-Ruelle-Bowen 测度。我们通过应用 Rychlik 关于 Lozi 映射的结果来实现这一点。然而，与 Lozi 映射不同，$G_\alpha$ 映射不可逆，这造成了我们能够克服的复杂性。