$M_n$ 上多重映射具有最大范数的线性映射的刻画及其在量子信息中的应用

给定线性映射 $\Phi : M_n \rightarrow M_m$，其多重映射定义为线性映射族 $\Phi \otimes \text{id}_k : M_n \otimes M_k \rightarrow M_m \otimes M_k$，其中 $\text{id}_k$ 表示 $M_k$ 上的恒等映射。设 $\|\cdot\|_1$ 表示矩阵的迹范数，以及矩阵线性映射的诱导迹范数，即 $\|\Phi\|_1 = \max\{\|\Phi(X)\|_1 : X \in M_n, \|X\|_1 = 1\}$。在算子代数与量子信息中，一个具有根本重要性的基本事实是 $\|\Phi \otimes \text{id}_k\|_1$ 可以随 $k$ 增长。一般而言，其增长率受限于 $\|\Phi \otimes \text{id}_k\|_1 \leq k \|\Phi\|_1$，而矩阵转置是达到此上界的典范实例。我们证明，在等价意义下，转置是达到此上界的唯一映射。该等价由完全迹范数等距给出，证明过程依赖于完全迹范数等距关于保持特定乘法关系的一个特定刻画。我们利用此结果刻画了满足某一范数关系的单次量子信道判别博弈；从操作意义上讲，该范数关系意味着该博弈在使用纠缠时必胜，但在无纠缠时难以获胜。具体而言，我们证明了涉及 Werner-Holevo 信道的此类博弈的著名实例，本质上是满足此范数关系的唯一博弈。这向刻画纠缠策略与无纠缠策略最优性能之间存在最大差距的单次量子信道判别博弈迈出了一步。