混合 Schmidt 范数量子映射复杂度

我们研究计算线性映射 $\Phi$ 之间矩阵空间的混合 Schmidt 范数 $\|\Phi\|_{q\to p}$ 的复杂度。当 $\Phi$ 完全正时，我们证明当 $q \geq p$ 时，$\| \Phi \|_{q \to p}$ 可以高效计算。$q \geq p$ 区间被称为非超谐约束区间，亦被称为混合向量范数 $\ell_{q} \to \ell_{p}$ 的易计算区间[Boyd, 1974]。然而，即使对于纠缠破坏的完全正迹保持映射 $\Phi$，我们也证明当 $p>1$ 时，计算 $\| \Phi \|_{1 \to p}$ 为 $\mathsf{NP}$-complete。超越完全正情况，考虑 $\Phi$ 为纠缠破坏的完全正迹保持映射之差，我们证明计算 $\| \Phi \|^+_{1 \to 1}$ 为 $\mathsf{NP}$-complete。相反，对于完全界限（cb）情况，我们描述了一种多项式时间算法来计算 $\|\Phi\|_{cb,1\to p}$ 和 $\|\Phi\|^+_{cb,1\to p}$，其中 $\Phi$ 为任意线性映射且 $p\geq1$。