矩形矩阵 Schatten 范数的最优估计

我们考虑从含噪观测中估计 $p\times q$ 矩形矩阵 ${\bf A}$ 的有效秩与 Schatten 范数 $\|{\bf A}\|_{s}$ 这两个相伴问题。当 $s$ 为偶数时，我们引入一个关于 $\|{\bf A}\|_s$ 的多项式时间估计量，其达到极小极大速率 $(pq)^{1/4}$。有趣的是，该最优速率不依赖于矩阵的潜在秩。当 $s$ 不为偶数时，最优速率慢得多。对奇异值做简单阈值化的估计量达到速率 $(q\wedge p)(pq)^{1/4}$，该速率在至多一个对数乘子意义下是最优的。紧极小极大速率由一个更复杂的多项式逼近方法达到。这使我们能为一组有效秩指标构建估计量。作为副产品，我们还刻画了估计矩阵奇异值序列的极小极大速率。