通过泡利测量估计低秩密度矩阵

密度矩阵是具有单位迹的半正定厄米矩阵，用于描述量子系统的状态。许多具有物理意义的量子系统可以表示为高维低秩密度矩阵。量子态层析（QST）中的一个常见问题是通过进行泡利测量来估计量子系统的未知低秩密度矩阵。我们的主要贡献有两方面。首先，我们建立了在泡利测量下估计低秩密度矩阵时，Schatten p-范数（1≤p≤+∞）下的极小极大下界。在我们之前的论文中，这些极小极大下界是在具有高斯噪声且噪声被假定具有共同方差的迹回归模型下证明的。在本文中，我们在符合 QST 实际模型的二项观测模型下证明了这些界。其次，我们研究了在二项观测模型下使用泡利测量估计未知低秩密度矩阵的 Dantzig 估计器（DE）。在我们之前的论文中，我们研究了最小二乘估计器和投影估计器，其中我们证明了最小二乘估计器在 Schatten p-范数（1≤p≤2）下的最优收敛速率，以及在更强条件下投影估计器在 Schatten p-范数（1≤p≤+∞）下的最优收敛速率。在本文中，我们表明这两种不同估计器的结果可以通过 Dantzig 估计器同时获得。此外，可以在比先前论文所需更弱的条件下，证明 Dantzig 估计器在 Schatten 范数距离下具有更好的收敛速率。当 DE 的目标函数被负冯·诺依曼熵替代时，我们得到了 Kullback-Leibler 散度下的精确收敛速率。