具有可分解 Jacobian 的 genus 2 曲线空间上的奇点轨迹

我们研究了具有 $(n, n)$-split Jacobian 的 genus 2 曲线代数曲面 $\S_n$ 上的奇点轨迹。Shaska 在 \cite{deg3} 中计算了 $n=3$ 时的该曲面，Shaska 等人在 \cite{deg5} 中计算了 $n=5$ 时的情形。我们证明了 $n=2$ 时的奇点轨迹恰好是自同构群为 $D_4$ 或 $D_6$ 的曲线轨迹。对于 $n=3$，我们利用 \cite{deg3} 中发现的曲面 $\S_3$ 的有理参数化，证明奇点轨迹是一个 0 维子簇，恰好由三条 genus 2 曲线（在同构意义下）组成，其自同构群为 $D_4$ 或 $D_6$。我们进一步表明，如果 $\S_n$ 是有理曲面，则在 $\S_3$ 中使用的有理参数化对所有 $n \geq 7$ 均适用。