Anderson模型的简单特征值与非平凡特征向量

我们考虑 Anderson 模型在有限网格 $G = \mathbb Z/L_1\mathbb Z\times\cdots\times\mathbb Z/L_d\mathbb Z$ 上的情形，由随机哈密顿量 $H_t=\Delta+tV$ 定义，其中 $\Delta$ 为离散拉普拉斯算子，$V=\mathrm{diag}(\{\omega_{x}\}_{x\in G})$ 为随机势，$\omega_x\sim\mu$ 为独立同分布。我们询问 $H_t$ 在何时拥有简单特征值和非平凡特征向量。我们证明，当 $\mu$ 为连续概率分布时，$H_t$ 以概率 $1$ 在除有限多个 $t$ 值外均具备此属性。然而，当 $\mu$ 为伯努利分布时，上述条件以正概率失败，我们给出下界。我们还计算了在伯努利分布情况下且 $d = 1$ 且 $L = L_1$ 为素数时，这些条件满足的确切概率。