峰子方程的相似约化：可积三次方程
可精确求解与可积系统
2022-11-09 v1 数学物理
偏微分方程分析
经典分析与常微分方程
math.MP
摘要
我们考虑两个允许尖峰孤子（peakon）解的可积三次非线性偏微分方程（PDE）的标度相似解，即修正的 Camassa-Holm（mCH）方程与 Novikov 方程。通过利用合适的互易变换——分别将 mCH 方程与 Novikov 方程映射为负 mKdV 流与负 Sawada-Kotera 流——我们证明这些标度相似约化中的每一个都经由速度图变换与一类 Painlevé 型方程相关：对 mCH 方程，其约化为二阶二次，而对 Novikov 方程该约化是 Painlevé V 的一个特例。进一步，我们证明这两个不同的 Painlevé 型方程分别与由 Camassa-Holm 与 Degasperis-Procesi 方程的类似相似约化所导出的 Painlevé III 的特例相关。对于所考虑的每一个三次非线性 PDE，我们还以椭圆函数给出了其周期行波解的显式参数形式。我们给出了后者的若干参数图，并利用 Painlevé III 的显式代数解，对若干最简单的标度相似解做了同样的处理，同时描述了它们的首阶渐近行为。
引用
@article{arxiv.2205.14767,
title = {Similarity reductions of peakon equations: integrable cubic equations},
author = {L. E. Barnes and A. N. W. Hone and M. Senthilvelan and S. Stalin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2205.14767},
year = {2022}
}