Steiner 2-设计的银块相交图

对于区组设计 $\cal{D}$，定义了一系列 {\sf 块相交图} $G_i$，或 $i$-{\rm BIG}($\cal{D}$)，$i=0, ..., k$，其中顶点是 $\cal{D}$ 的区组，当且仅当相应区组恰好相交于 $i$ 个元素时，两个顶点相邻。银图 $G$ 是相对于 $G$ 的一个最大独立集（称为该图的 {\sf 对角线}）定义的。设 $G$ 是 $r$-正则的，$c$ 是 $G$ 的一个正常 $(r + 1)$-着色。如果每种颜色都出现在闭邻域 $N[x] = N(x) \cup \{x\}$ 中，则称顶点 $x$ 在 $G$ 中相对于 $c$ 是 {\sf 彩虹的}。给定 $G$ 的一条对角线 $I$，如果每个 $x\in I$ 相对于 $c$ 都是彩虹的，则称着色 $c$ 相对于 $I$ 是银色的。如果 $G$ 相对于某个 $I$ 允许银色着色，则称 $G$ 是 {\sf 银色的}。我们研究了 Steiner 系统 ${\cal{D}}=S(2,k,v)$ 的 0-{\rm BIG}($\cal{D}$) 和 1-{\rm BIG}($\cal{D}$) 成为银色的条件。