具有循环 2-相交 Gray 码的二重三元系

给定组合设计 $\mathcal{D}$ 及其块集 $\mathcal{B}$,$\mathcal{D}$ 的块相交图(BIG)是以 $\mathcal{B}$ 为顶点集的图,其中两个顶点 $B_{1} \in \mathcal{B}$ 与 $B_{2} \in \mathcal{B}$ 相邻当且仅当 $|B_{1} \cap B_{2}| > 0$。$\mathcal{D}$ 的 $i$-块相交图($i$-BIG)是以 $\mathcal{B}$ 为顶点集的图,其中两个顶点 $B_{1} \in \mathcal{B}$ 与 $B_{2} \in \mathcal{B}$ 相邻当且仅当 $|B_{1} \cap B_{2}| = i$。本文获得了若干构造,这些构造从具有哈密顿 $2$-BIG 的二重三元系(TTSs)出发,得到同样具有哈密顿 $2$-BIG 的更大 TTSs。这些构造共同使我们能够确定具有哈密顿 $2$-BIG 的 TTSs(等价于具有循环 $2$-相交 Gray 码的 TTSs)的完整谱,以及具有含哈密顿路径的 $2$-BIG 的 TTSs(即具有 $2$-相交 Gray 码的 TTSs)的完整谱。为证明这些谱结果,我们有时需要具有大偏平行类的原料 TTSs;我们证明了任意 TTSs 中偏平行类大小的下界,进而构造了同时具有循环 $2$-相交 Gray 码与平行类的更大 TTSs。