基于非线性模型从测量中获取信号

我们考虑从一组测量值 $\mu_j(M)$ 重建非线性有限参数模型 $M=M_p(x)$ 的问题，其中 $p=(p_1,...,p_r)$ 是一组参数。在本文中，$\mu_j(M)$ 始终是矩 $m_j(M)=\int x^jM_p(x)dx$。该问题是信号处理、统计学以及许多其他应用中的核心问题。我们专注于解决上述问题的一种直接（且有些“朴素”）的方法：我们简单地将模型函数 $M_p(x)$ 代入测量 $\mu_j$ 中，并显式计算得到的关于参数 $p$ 的 $\mu_j(M_p)$ 的“符号”表达式。将这些“符号”表达式与实际测量结果等同起来，我们便产生了一个关于参数 $p$ 的非线性方程组，随后我们尝试求解该方程组。本文旨在回顾这一方向上的一些近期结果（主要来自 \cite{Vet5,Mil1,Mil2,Put1,Vet4,Vet3,Mil3,Mil4,Vet2}），强调所产生方程组的代数结构及其求解所需的数学工具。我们特别讨论了上述重建问题与 \cite{bfy,bry,chr,pak1,pak2,pak3,pry,ry} 中关于广义多项式矩消失问题及代数函数柯西型积分的近期结果之间的关系。随附论文 \cite{Kis1}（本卷）基于对问题的矩生成函数所满足的具有有理系数的线性微分方程的研究，为上述一大类重建问题提供了一种求解方法。