害羞耦合、CAT(0)空间与狮人问题
概率论
2013-03-18 v4 度量几何
摘要
度量空间上的两个随机过程X和Y被称为ε-害羞耦合，如果它们有正概率永远保持至少ε的正距离。文献中的兴趣集中在受拓扑和几何条件限制的不存在性结果上；其动机源于更好地理解概率耦合的愿望。先前关于反射布朗运动协同适应害羞耦合的不存在性结果需要凸性条件；我们通过证明在任何有界CAT(0)域中（其边界满足一致外球和内锥条件，例如具有C^2边界的单连通有界平面域），反射布朗运动不存在害羞协同适应耦合，从而去除了这些条件。证明使用了Cameron-Martin-Girsanov论证，结合Skorokhod变换的连续性性质以及域内在度量的性质。为此，建立了Gauss引理的推广，证明了对于边界满足一致外球和内锥条件的CAT(0)域闭包，其内在距离函数的可微性。通过这种方式，害羞耦合问题被转化为一个狮人追逃问题。
引用
@article{arxiv.1007.3199,
title = {Shy couplings, CAT(0) spaces, and the lion and man},
author = {Maury Bramson and Krzysztof Burdzy and Wilfrid Kendall},
journal= {arXiv preprint arXiv:1007.3199},
year = {2013}
}
备注
Published in at http://dx.doi.org/10.1214/11-AOP723 the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)