渐近耦合与Harris定理的弱形式及其在随机延迟方程中的应用

存在许多定义在无限维空间上的马尔可夫链，当从不同初始条件出发时，其一步转移核相互奇异。我们给出了在最小假设下证明唯一遍历性的结果，以及在类似于 Harris 定理的条件下证明谱间隙存在性的结果。前者利用了当时间趋于无穷时使解汇聚在一起的耦合的存在性。这种“渐近耦合”是近期关于随机偏微分方程工作的核心，而本文的工作正是建立在此基础之上。本文的重点在于随机微分延迟方程。Harris 著名的定理指出，如果一个马尔可夫链存在一个 Lyapunov 函数，其水平集是“小的”（即转移概率一致有正下界），那么该链存在唯一的不变测度，并且转移概率以指数速度收敛于该测度。这种收敛发生在由 Lyapunov 函数加权的全变差范数下。本文的第二个目的是用更弱的“d-小集”概念来替代“小集”概念，该概念通过一个类似距离的函数 d 将底层空间的拓扑结构纳入考虑。基于这一概念，我们证明了 Harris 定理的一个类似物，其中收敛发生在同样由 Lyapunov 函数加权的 Wasserstein 型距离下。然后将这一抽象结果应用于随机延迟方程的框架中。