面向量子仿射与环代数的洗牌方法

这些是作者于 2019 年 3 月第二周在东京海洋大学开设的洗牌代数速成课程的详细讲义。本笔记由三章组成，分别处理： $\mathfrak{sl}_n$ 的量子 loop 代数（及其超与双参数推广）、 $\mathfrak{gl}_1$ 的量子环代数，以及 $\mathfrak{sl}_n$ 的量子环代数。我们给出了相应“正”子代数以及交换子代数的洗牌实现，并给出环代数的一些组合表示。所涉及的关键技术之一是“特殊化映射”。每章旨在强调理论的不同方面：第一章利用洗牌代数构造类型 $A$ 量子 loop 代数及其整形式的一族新 PBWD 基；第二章给出 Fock 模的几何解释，并利用交换子代数的洗牌描述构造 Heisenberg 代数在点的 Hilbert 概型的等变 $K$-理论上的作用；最后一章借助 Miki 同构关联 $\mathfrak{sl}_n$ 量子环代数的顶点与组合表示，并利用洗牌实现显式计算 Bethe 交换子代数及其极限。后一构造受 Enriquez 将洗牌代数与量子仿射化代数的关联函数相联系的工作启发。