混合网络模型中的最短路径

我们引入了一种混合网络的通信模型，其中节点可访问两种不同的通信模式：一种本地模式，仅在特定节点对之间可通信；以及一种全局模式，任意节点对之间均可通信。例如，在无线网络中，我们将直接设备到设备通信（如使用WiFi）与通过共享基础设施（如基站、蜂窝网络或卫星）的通信相结合，即可体现这一动机。通常，短距离连接上的通信成本更低且速率更高。因此，我们在此针对本地连接采用LOCAL模型（节点每轮可交换无限量信息），而对于全局通信，我们假设所谓的节点容量团模型，其中每轮每个节点只能与仅 $O(\log n)$ 个其他节点交换 $O(\log n)$ 比特消息。为探究本地与全局通信结合的能力，我们研究了混合通信对计算由本地连接给出的图中的最短路径复杂度的影响。具体而言，对于所有点对最短路径问题(APSP)，我们证明可在时间 $\tilde O\big(n^{2/3}\big)$ 内计算出精确解，并可在时间 $\tilde \Theta\big(\!\sqrt{n}\big)$ 内计算出近似解。对于单源最短路径问题(SSSP)，我们证明可在时间 $\tilde O\big(\!\sqrt{\mathsf{SPD}}\big)$ 内计算出精确解，其中 $\mathsf{SPD}$ 表示最短路径直径。我们进一步证明，可计算 $(1\!+\!o(1))$-近似解，时间为 $\tilde O\big(n^{1/3}\big)$。此外，我们证明对于任意常数 $\varepsilon>0$，可在时间 $\tilde O(n^\varepsilon)$ 内计算出 $O(1)$-近似解。