非交换 Gamma 谱上的 Sheaf 论与导出 Gamma 几何

我们构建了关于非交换 $n$ 元 $\Gamma$ 半环 $(T,+,\Gamma,\mu)$ 及其双 $\Gamma$ 模块的非交换 $\Gamma$ 谱上的 Sheaf 论与导出理论。我们定义空间 $\Spec_{\Gamma}^{\mathrm{nc}}(T)$，赋予其 Zariski 型拓扑，构建结构层 $\mathcal{O}_{\Spec{\Gamma}^{\mathrm{nc}}(T)}$ 通过在素 $\Gamma$ 理想局部化。我们引入准齐次 $\Gamma$ 层，证明其范畴完备且存在足够的注射对象，并将 $\Ext^{\Gamma}$ 与 $\Tor^{\Gamma}$ 解释为该非交换 $\Gamma$ 空间上的全局上同调不变量。在导出侧，我们构建范畴 $\mathbf{D}(\QCoh(\Spec_{\Gamma}^{\mathrm{nc}}(T)))$，建立 $\Ext^{\Gamma}$ 与 $\Tor^{\Gamma}$ 的局部-全局原理，并在假设存在 dualizing complex 的情况下证明非交换局部对偶定理。我们进一步引入导出非交换 $\Gamma$ 栈及其谱的 dg 增强，给出同调不变量的谱与动机解释。结构结果包括 $n$ 元 $\Gamma$ 情形下的 Wedderburn-Artin 类型分解、半单 $n$ 元 $\Gamma$ 半环的导出 Morita 理论，以及原始 $\Gamma$ 谱与导出范畴简单对象的对偶性。这些结果将我们此前的交换导修 $\Gamma$ 几何推广到完全非交换 $n$ 元语境。