坎马斯-霍尔方程中梯度 blow-up 解的尖锐正则性

我们研究坎马斯-霍尔(CH)方程中奇点的形成，提供详细的 blow-up 动力学描述并确定梯度 blow-up 解的精确 H"older 正则性。为此，我们首先构建自相似 blow-up 概谱，检查其属性，包括无穷处的渐近行为，这决定了奇点的类型。利用这些概谱作为参考，并运用调制理论，我们在自相似变量中建立 blow-up 解的全局点估计，从而展示我们构建的自相似概谱的稳定性。我们的结果表明，解从较为一般的开放集合中的光滑初始数据演化，形成 $C^{3/5}$ 的尖角作为第一个有限时间奇点。这些奇点类似于 \emph{pre-shocks} 在布尔格方程中出现的，呈现无界梯度但解本身保持有界。然而，奇点的性质不同于布尔格方程的奇点，后者是三次根奇点，即 $C^{1/3}$。我们的工作首次证明 CH 方程的通用 pre-shocks 表现出 $C^{3/5}$ H"older 正则性。我们构建新型自相似概谱，纳入了 CH 方程在 blow-up regime 中精确主导项修正，这使我们能够识别奇点的锐利 H"older 正则性并捕捉 blow-up 的详细空间和时间动力学。我们还显示，霍夫-山克顿(HS)方程中产生的通用奇点类型与 CH 方程中的奇点相同。