三次Szegő方程的尖锐拟不变阈值

我们考虑一维三次Szegő方程，其数据服从逆协方差算子为$(1-\partial_x^2)^\frac s2$的高斯测度，其中$s>\frac12$。我们证明，当$s>1$时，该测度在方程流下是拟不变的；而当$s<1$且$s\neq \frac34$时，对于几乎每个时刻，输运测度与初始高斯测度相互奇异。这是在哈密顿偏微分方程流下高斯测度输运中首次观察到从拟不变性到奇异性的转变。