无粘性或磁扩散不可压缩 MHD 方程的锐衰减估计与渐近稳定性

仅具有运动粘性或磁扩散的 $n$ 维不可压缩磁流体动力学 (MHD) 方程强解的整体存在性与唯一性是否成立，仍是一个悬而未决的公开问题。近年来，当磁场接近平衡态（简称背景磁场）时的情况受到了更多关注。具体而言，当背景磁场满足 Diophantine 条件（详见 (1.2)）时，Chen, Zhang 和 Zhou [Sci. China Math. 41 (2022), pp.1-10] 首次研究了扰动系统，并在 3D 周期域 $\mathbb{T}^3$ 中建立了其解的衰减估计和稳定性，随后 Zhai [J. Differ. Equ. 374 (2023), pp.267-278] 将其改进到 2D 周期域 $\mathbb{T}^2$ 及任意 $\alpha>0$, $\beta>0$ 的 $H^{(3+2\beta)r+5+(\alpha+2\beta)}(\mathbb{T}^2)$ 空间。本文旨在寻找最优衰减估计并改进全局稳定性成立的空间。通过深入探索并充分利用扰动系统的结构，我们发现了一种新的耗散机制，使我们能够在具有更低正则性的 Sobolev 空间中建立衰减估计。基于上述发现，我们将前述两项工作的初始正则性要求从 $H^{4r+7}(\mathbb{T}^3)$ 和 $H^{(3+2\beta)r+5+(\alpha+2\beta)}(\mathbb{T}^2)$ 分别大幅降低到 $n=3$ 和 $n=2$ 时 $r>n-1$ 的 $H^{(3r+3)^+}(\mathbb{T}^n)$。此外，本文首次通过谱分析方法给出了线性稳定性结果。由此，为非线性系统获得的衰减估计可以被视为是尖锐的，因为它们与线性化系统的衰减估计一致。