2D 无磁扩散的不可压缩 MHD 方程的全局良定性

在最近的研究中，针对2D 无磁扩散的黏性 MHD 方程的Cauchy问题，已在初始数据接近具有非平凡磁场的平衡态且扰动在某些合适空间（如具有负指数的 Sobolev 空间）中较小的条件下，证明了经典解的全局存在性\cite{Ren,TZhang}。这引出了一个有趣的开放性问题：是否可以在类似于理想 MHD（即无黏性和磁扩散）或完全耗散 MHD（即同时具有黏性和磁扩散）的情形下，建立经典解的全局存在性，而无需借助具有负指数的 Sobolev 空间等额外帮助？本文对此问题给出了肯定的答案。事实上，我们将在初始扰动位于 $H^2(\mathbb{R}^2)$ 小的条件下，建立该方程组的全局唯一解的存在性。关键思路是进一步探讨系统结构，利用垂直于耗散有利方向的Alfv\'{e}n 波的色散效应。这促使我们采取将最复杂的非线性项视为人工线性项的关键策略。这些观察帮助我们构建了一些有趣的量数，以提高最复杂非线性项的非线性阶数，并通过属性更好的项来控制这些量数。