单变量少多项式根数的尖锐界

设 $K$ 是一个域且 $t\ge 0$。记 $B_m(t,K)$ 为 $K[x]$ 中至多含有 $t+1$ 个单项式的非零多项式在 $K$ 中非零根的最大个数（按重数计）。我们基于范德蒙行列式采用统一方法证明：对于任何具有非阿基米德赋值 $v$（满足对所有非零整数 $n$ 有 $v(n)=0$）且剩余域为 $K$ 的局部域 $L$，有 $B_m(t,L)\le t^2 B_m(t,K)$；对于 $\mathbb{Q}_p$ 的任意有限扩张 $K$（剩余类次数为 $f$，分歧指数为 $e$），在假设 $p>t+e$ 时，有 $B_m(t,K)\le (t^2-t+1)(p^f-1)$。对于 $\mathbb{Q}_p$ 的任意有限扩张 $K$（$p$ 为奇数），我们还给出下界 $B_m(t,K)\ge (2t-1)(p^f-1)$，这给出了三项式在 $p>2+e$ 时的精确估计 $B_m(2,K)=3(p^f-1)$。