集合划分、费米子与 skein 关系

设 $\Theta_n = (\theta_1, \dots, \theta_n)$ 与 $\Xi_n = (\xi_1, \dots, \xi_n)$ 为两个含 $n$ 个变量的列表，并考虑对称群 $\mathfrak{S}_n$ 在外代数 $\wedge \{ \Theta_n, \Xi_n \}$ 上的对角作用，该外代数由这些变量生成。Jongwon Kim 与第二作者定义并研究了费米子对角协变环 $FDR_n$，它由 $\wedge \{ \Theta_n, \Xi_n \}$ 模去具有零常数项的 $\mathfrak{S}_n$-不变式得到。另一方面，第二作者利用一族解决集合划分中交叉的新颖 skein 关系，描述了 $\mathfrak{S}_n$ 在以 $\{1,\dots,n\}$ 的非交叉集合划分为基的向量空间上的作用。我们给出了 $FDR_n$ 的一个自然 Catalan 维子模与 skein 表示之间的同构。为此，我们证明了集合划分的 skein 关系在外代数背景下自然出现。我们的方法给出了一种 $\mathfrak{S}_n$-等变的解决集合划分中交叉的方式。我们利用费米子澄清、 sharpen 并扩展了集合划分交叉消解的理论。